最小二乘法例题及答案

最小二乘法是一种在数学和统计学中常用的方法，用于寻找数据的最佳函数匹配。这种方法通过最小化误差的平方和来找到最佳拟合线或曲线。这里，我将通过一个简单的例子来解释最小二乘法的应用。

例题

假设我们有一组关于某商品销量与广告投入的数据，如下表所示：

| 广告投入（万元） | 销量（件） |

|-----------------|-----------|

| 2 | 100 |

| 3 | 150 |

| 4 | 200 |

| 5 | 250 |

| 6 | 300 |

我们的目标是找到一条直线y = ax + b，其中x代表广告投入（万元），y代表销量（件）。a为斜率，b为截距。这条直线应该能够最好地表示这些点的趋势。

解答步骤

1. 计算平均值：首先，我们需要计算广告投入和销量的平均值。

- 广告投入的平均值 \(\bar{x} = (2+3+4+5+6)/5 = 4\)

- 销量的平均值 \(\bar{y} = (100+150+200+250+300)/5 = 200\)

2. 计算斜率a：

- 斜率公式 \(a = \frac{\sum{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}}{\sum{(x_i-\bar{x})^2}}\)

- 分子部分 \(\sum{(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} = (2-4)(100-200) + (3-4)(150-200) + (4-4)(200-200) + (5-4)(250-200) + (6-4)(300-200) = 500\)

- 分母部分 \(\sum{(x_i-\bar{x})^2} = (2-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2 + (5-4)^2 + (6-4)^2 = 10\)

- 因此，\(a = 500 / 10 = 50\)

3. 计算截距b：

- 截距公式 \(b = \bar{y} - a\bar{x}\)

- \(b = 200 - 504 = 0\)

最终得到的直线方程为 \(y = 50x\)，即每增加1万元的广告投入，销量增加50件。

这个例子展示了如何使用最小二乘法来找到两个变量之间的线性关系。这种方法广泛应用于数据分析、预测建模等领域。